Question

（11·大連）（本題12分）在△ABC中，∠A＝90°，點D在線段BC上，∠EDB
＝∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F．
（1）當AB＝AC時，（如圖13），
① ∠EBF＝_______°；
② 探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）當AB＝kAC時（如圖14），求的值（用含k的式子表示）．
  

Answer 1

解：（1）①22.5°…………………………2分

證明：如圖1，過點D作DG∥CA，與BE的延長線相交于點G，與AB相交于點H

則∠GDB＝∠C   ∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB

又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°
∴△DEB≌△DEG

∵AB＝AC   ∠A＝90°
∴∠ABC＝∠C＝∠GDB
∴HB＝HD
∵∠DEB＝∠BHD＝90°    ∠BFE＝∠DFH
∴∠EBF＝∠HDF
∴△GBH≌△FDH
∴GB＝FD…………………………6分

（2）如圖1，過點D作DG∥CA，與BE的延長線相交于點G，與AB相交于點H

又∵DG∥CA
∴△BHD∽△BAC

第二種解法：
解：（1）①∵AB＝AC∠A＝90°
∴∠ABC＝∠C＝45°
∵∠EDB＝∠C
∴∠EDB＝22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD＝67.5°
∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5°
②在△BEF和△DEB中
∵∠E＝∠E＝90°
∠EBF＝∠EDB＝22.5°
∴△BEF∽△DEB
如圖：BG平分∠ABC，

∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形
設(shè)EF＝x，BE＝y(tǒng)，
則：BG＝GD＝y
FD＝y＋y－x
∵△BEF∽△DEB
∴ ＝
即：＝
得：x＝（－1）y
∴FD＝y＋y－（－1）y＝2y
∴FD＝2BE．
（2）如圖：作∠ACB的平分線CG，交AB于點G，

∵AB＝kAC
∴設(shè)AC＝b，AB＝kb，BC＝b
利用角平分線的性質(zhì)有：＝
即：＝
得：AG＝
∵∠EDB＝∠ACB
∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝
∵∠EDB＝∠ACB
∠ABC＝90°－∠ACB
∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝∠ACB
∴△BEF∽△DEB
∴EF＝BE
ED＝BE＝EF＋FD
∴FD＝BE－BE＝BE．
∴ ＝．

解析