Question

如圖，點(diǎn)A（-10，0），B（-6，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．點(diǎn)P從點(diǎn)Q（8，0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠BCP=15°，求t的值；
（3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，易得∠BCO=∠CBO=45°，則可求得OC=OB=6，即可求得答案；
（2）分別從當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)與左側(cè)時(shí)去分析求解，借助于三角函數(shù)的知識(shí)，即可求得答案；
（3）分別從當(dāng)⊙P與BC相切于點(diǎn)C時(shí)，則∠BCP=90°，當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時(shí)，有PC⊥CD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，當(dāng)⊙P與AD相切時(shí)，由題意得：∠DAO=90°，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵∠BOC=90°，∠CBO=45°，
∴∠BCO=∠CBO=45°，
∵B（-6，0），
∴OC=OB=6，
 又∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，?
∴C（0，6）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，
∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，
∴∠POC=30°，
∴OP=OC•tan∠POC=6×

3

3

=2

3

，
∴t₁=8+2

3

，
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，
∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，
∴∠POC=60°，
∴OP=OC•tan∠POC=6×

3

=6

3

，
∴t₂=8+6

3

，
，綜上所述：t的值為8+2

3

或8+6

3

．

（3）由題意知：若⊙P與四邊形ABCD的邊都相切，有以下三種情況：
①當(dāng)⊙P與BC相切于點(diǎn)C時(shí)，則∠BCP=90°，
∵∠OCB=45°，
∴∠OCP=45°，
∴OP=OB=6，
此時(shí)t₁=8-6=2；
②當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時(shí)，有PC⊥CD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，?
此時(shí)t₂=8；
③當(dāng)⊙P與AD相切時(shí)，由題意得：∠DAO=90°，
∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，
設(shè)OP=x，則PA=PC=10-x，
∴6²+x²=（10-x）²，
∴x=3.2，
∴OP=3.2，
∴t₃=8+3.2=11.2；
綜上所述：t的值為2或8或11.2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用．