Question

已知：如圖，正方形紙片ABCD的邊長是4，點M、N分別在兩邊AB和CD上（其中點N不與點C重合），沿直線MN折疊該紙片，點B恰好落在AD邊上點E處．

【小題1】（1）設AE＝x，四邊形AMND的面積為 S，求 S關于x 的函數解析式，并指明該函數的定義域；
【小題2】（2）當AM為何值時，四邊形AMND的面積最大？最大值是多少？
【小題3】（3）點M能是AB邊上任意一點嗎？請求出AM的取值范圍．  

Answer 1

【小題1】⑴依題意，點B和E關于MN對稱，則ME=MB=4-AM.
再由AM²+AE²=ME²=(4-AM)²，得AM=2-.            ……………………1分
作MF⊥DN于F，則MF=AB，且∠BMF=90°.
∵MN⊥BE，∴∠ABE= 90°-∠BMN.
又∵∠FMN =∠BMF -∠BMN=90°-∠BMN，
∴∠FMN=∠ABE.
∴Rt△FMN≌Rt△ABE.
∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-+x.           ………………………2分
∴S=(AM+DN)×AD
=(2-+)×4
= -+2x+8.                               ……………………………3分
其中，0≤x＜4.  
【小題2】⑵∵S= -+2x+8= -(x-2)²+10,
∴當x=2時，S_最大=10；            …………………………………………5分
此時，AM=2-×2²="1.5  "            ………………………………………6分
答：當AM=1.5時，四邊形AMND的面積最大，為10
【小題3】⑶不能，0＜AM≤2.解析:
略