Question

已知：⊙O的半徑OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線(xiàn)AO上一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），直線(xiàn)PC與射線(xiàn)BO交于點(diǎn)D.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上，求OD的長(zhǎng).

（2）若點(diǎn)P在A(yíng)O的延長(zhǎng)線(xiàn)上，設(shè)OP=x，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量x 的取值范圍。

（3）連接CO，若△PCO與△PCA相似，求此時(shí)BD的長(zhǎng)。

 

 

Answer 1

【答案】

解：當(dāng)P在⊙O上時(shí)，連接BP       

     ∵ C是AB中點(diǎn)，O是AP中點(diǎn)，

∴ 點(diǎn)D為△ABP的重心，  ∴ 

∵ OA=OB=5   ∴  

（2）過(guò)點(diǎn)O作OE//AB，交PC于點(diǎn)E（如圖） 

∵OE//AB  ∴，      

又∵ AC=BC   ∴ 

即  (x>0) 

(3) 當(dāng)P在A(yíng)O延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若△PCO∽△PAC時(shí)，有∠PCO=∠A，

∵∠A=∠B，∴∠PCO=∠B， 易證△ACO∽△BDC

得     得    ∴ 

當(dāng)P在A(yíng)O上時(shí)，若△PCO∽△PAC時(shí)，可得CP⊥AO（如圖）

作BH⊥AO，可求得   ，

由， 得      ∴

則 

綜上所述，若△PCO與△PCA相似，此時(shí)BD的長(zhǎng)為或

【解析】（1）連接BP，由兩個(gè)中點(diǎn)得出點(diǎn)D是重心，可以得到；

       （2）過(guò)點(diǎn)O作OE//AB，由三角形中線(xiàn)段的相似比找出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

       （3）考慮兩種情況：點(diǎn)P在A(yíng)O延長(zhǎng)線(xiàn)上或者點(diǎn)P在A(yíng)O上。