Question

【題目】對于⊙P及一個矩形給出如下定義：如果⊙P上存在到此矩形四個頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)，那么稱⊙P是該矩形的“等距圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且OC=OD.

（1）當(dāng)⊙P的半徑為4時，

①在P1（，），P2（，），P3（，）中可以成為矩形ABCD的“等距圓”的圓心的是 ；

②如果點(diǎn)P在直線上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圓”，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)P在軸上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圓”，如果⊙P與直線AD沒有公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ① ; ② 或

（2）

【解析】分析：（1）①由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，2），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且OC=OD，可求得點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)，繼而可求得到此矩形四個頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后由⊙P的半徑為4，即可求得答案；

②首先設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-x+1），易得x2+（-x+1-1）2=42，繼而求得答案；

（2）由題意可得|m-1|＜，且|m-1|≠0，繼而求得答案．

詳解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，2），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且OC=OD，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0），

∴矩形ABCD的中心E的坐標(biāo)為（0，1），

當(dāng)⊙P的半徑為4時，

①若P1（0，-3），則PE=1+3=4，

若P2（2，3），則PE==4，

若P3（-2，1）則PE=，

∴可以成為矩形ABCD的“等距圓”的圓心的是：P1（0，-3），P2（2，3）；

故答案為：P1（0，-3），P2（2，3）．

②∵設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-x+1），

∵E為（0，1），

∴x2+（-x+1-1）2=42，

解得：x=±2，

當(dāng)x=2時，y=-×2+1=-1；

當(dāng)x=-2時，y=-×（-2）+1=3；

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）或（-2，3）；

（2）∵點(diǎn)P在y上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圓”，且⊙P與直線AD沒有公共點(diǎn)，

∴|m-1|＜，且|m-1|≠0，

解得：1-＜m＜1+且m≠1．

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)m的取值范圍為：1-＜m＜1+且m≠1．