Question

如圖，已知四邊形ABCD、AEFG均為正方形，∠BAG＝α(0°＜α＜180°)．

(1)求證：BE＝DG，且BE⊥DG；

(2)設(shè)正方形ABCD、AEFG的邊長分別是3和2，線段BD、DE、EG、GB所圍成封閉圖形的面積為S．當(dāng)α變化時，指出S的最大值及相應(yīng)的α值．(直接寫出結(jié)果，不必說明理由)

Answer 1

答案：
解析：

(1)證法一：∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形， 　　∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AD＝AB，AG＝AE．(2分) 　　∴將AD、AG分別繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，它們恰好分別與AB、AE重合，即點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)G與點(diǎn)E重合，(3分) 　　∴DG繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°與BE重合，(5分) 　　∴BE＝DG，且BE⊥DG．(6分) 　　證法二：∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形， 　　∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AD＝AB，AG＝AE．(2分) 　　∴∠DAB＋α＝∠GAE＋α，∴∠DAG＝∠BAE． 　�、佼�(dāng)α≠90°時，由前知△DAG≌△BAE(S.A.S.)，(2分) 　　∴BE＝DG，(3分) 　　且∠ADG＝∠ABE．(4分) 　　設(shè)直線DG分別與直線BA、BE交于點(diǎn)M、N，又∵∠AMD＝∠BMN，∠ADG＋∠AMD＝90°， 　　∴∠ABE＋∠BMN＝90°，(5分) 　　∴∠BND＝90°，∴BE⊥DG．(6分) 　�、诋�(dāng)α＝90°時，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長線上，顯然BE＝DG，且BE⊥DG． 　　(說明：未考慮α＝90°的情形不扣分) 　　(2)S的最大值為，(7分) 　　當(dāng)S取得最大值時，α＝90°．(8分)