Question

如圖，已知?jiǎng)訄AA始終經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B（0，2），圓心A在拋物線y=

1

4

x2上運(yùn)動(dòng)，MN為⊙A在x軸上截得的弦（點(diǎn)M在N左側(cè)）
（1）當(dāng)A（2

2

，a）時(shí)，求a的值，并計(jì)算此時(shí)⊙A的半徑與弦MN的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)⊙A的圓心A運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷弦MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若改變，舉例說(shuō)明；若不變，說(shuō)明理由．
（3）連接BM，BN，當(dāng)△OBM與△OBN相似時(shí)，計(jì)算點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值為2，從而得到AB∥x軸，根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)即可得到⊙A的半徑，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥MN于點(diǎn)E，利用勾股定理求出ME的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理即可得到MN的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，n），利用點(diǎn)A、B的坐標(biāo)結(jié)合勾股定理表示出AB²，再根據(jù)勾股定理表示出ME²，并把AB²的表達(dá)式代入進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)點(diǎn)A在拋物線上得到m、n的關(guān)系式，整理即可得到ME=2是常數(shù)，然后得到MN不變；
（3）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后分①點(diǎn)M、N在y軸同一側(cè)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②點(diǎn)M、N在y軸兩側(cè)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（2

2

，a）代入y=

1

4

x²，
得：a=

1

4

×（2

2

）²=2，
∵B（0，2），
∴AB∥x軸，
∴⊙A的半徑為2

2

，
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥MN于點(diǎn)E，連接AM，
則AM=AB=2

2

，
ME=

AB2-AE2

=

(2 2 )2-22

=2，
由垂徑定理，MN=2ME=2×2=4．
故此時(shí)⊙A的半徑為2

2

，弦MN的長(zhǎng)為4；

（2）MN不變．如圖1，理由如下：
設(shè)點(diǎn)A（m，n），則AB²=m²+（n-2）²，
在Rt△AME中，ME²=AM²-AE²=m²+（n-2）²-n²=m²-4n+4，
∵點(diǎn)A在拋物線y=

1

4

x²上，
∴

1

4

m²=n，
整理得，ME²=4，
ME=2，
由垂徑定理得，MN=2ME=2×2=4（是定值，不變）；


（3）連接BM，BN，設(shè)M（x，0），則N（x+4，0）．
當(dāng)△OBM與△OBN相似，有以下情況：
①M(fèi)、N在y軸同側(cè)，
∵△OBM與△OBN相似，
∴

OB

OM

=

ON

OB

，
即OB²=OM•ON，
所以，x（x+4）=4，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2+2

2

，x₂=-2-2

2

，
當(dāng)M、N在y軸右側(cè)時(shí)，如圖2，M（-2+2

2

，0），
當(dāng)M、N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖3，M（-2-2

2

，0），
②M、N在y軸兩側(cè)時(shí)，如圖4，
∵△OBM與△OBN相似，
∴

OB

OM

=

ON

OB

，
即OB²=OM•ON，
-x（x+4）=4，
整理得，x²+4x+4=0，
解得x=-2，
此時(shí)△OBM與△OBN全等，M（-2，0），
綜上所述，M有三種情況：M（-2+2

2

，0），M（（-2-2

2

，0），M（-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，勾股定理，垂徑定理，以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，（3）題要注意分點(diǎn)M、N在y軸的同一側(cè)與兩側(cè)兩種情況討論求解．