【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D在邊AC上,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn),CE的延長線交邊AB于點(diǎn)F,且∠CED=∠A.
(1)求證:AC=AF;
(2)在邊AB的下方畫∠GBA=∠CED,交CF的延長線于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)DG,在圖中畫出圖形,并證明四邊形CDGB是矩形.

【答案】
(1)證明:∵∠BCD=90°,DE=EB,

∴EC=ED=EB,

∴∠EDC=∠ECD,

∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°,∠A+∠DCE+∠AFC=180°,

又∵∠CED=∠A,

∴∠CDE=∠AFC,

∴∠AFC=∠ACF,

∴AC=AF


(2)解:圖象如圖所示.

∵∠CED=∠ABG,∠CED=∠A,

∴∠A=∠ABG,

∴AC∥BG,

∴∠ECD=∠BGE,

在△CED和△GEB中,

∴△CED≌△GEB,

∴CE=EG,

∴CE=DE=EB,

∴CG=BD,CE=EG,DE=EB,

∴四邊形CDGB是平行四邊形,∵BD=CG,

∴四邊形CDGB是矩形


【解析】(1)只要證明∠CDE=∠ECD,∠CDE=∠AFC即可解決問題.(2)只要證明CG=BD,CE=EG,DE=EB即可.
【考點(diǎn)精析】利用矩形的判定方法和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形;有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果該工藝品售價(jià)最高不超過每件30元,那么售價(jià)定為每件多少元時(shí),工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少元?(利潤=售價(jià)-成本)

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