Question

如圖，正方形ABCD中，∠EAF=45°，BE=2，F(xiàn)C=6，求EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AG=AF，∠BAG=∠DAF，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EF與DC的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得EF與BC的關(guān)系，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答：解：如圖所示：延長CB至G，使得BG=DF，連接AG，
在△ADF和△ABG中

DF=BG ∠D=∠ABG=90° AD=AB

，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∴∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=90°-∠EAF=45°=∠EAF．
在△AEG和△AEF中

AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE

，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF=GE=BG-BE=DF-BE=DC+CF-BE=DC+6-2=DC+4，
設(shè)EF=m，ad=bc=dc=n，m=n+4①，
在Rt△CEF中，EF²=EC²+CF²=（BC+BE）²+CF²，
即m²=（n+2）²+36②；
聯(lián)立①②得

m=n+4 m2=(n+2)2+36

，
解得

m=10 n=6

，
∴EF=10．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)勾股定理，綜合性較強(qiáng)，題目稍有難度．