Question

少年科技組制成一臺(tái)單項(xiàng)功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算，其運(yùn)算過(guò)程是：輸入第一個(gè)整數(shù)x₁，只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)x₂后則顯示|x₁-x₂|的結(jié)果，此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對(duì)值的運(yùn)算，現(xiàn)小明將從1到1991這一千九百九十一個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)地輸入，全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為p．試求出p的最大值

1990

，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)題意每次輸入都是與前一次運(yùn)算結(jié)果求差后取絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為奇偶性的性質(zhì)然后討論最大值．

解答：解：由于輸入的數(shù)都是非負(fù)數(shù)．當(dāng)x₁≥0，x₂≥0時(shí)，|x₁-x₂|不超過(guò)x₁，x₂中最大的數(shù)．對(duì)x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0，則||x₁-x₂|-x₃|不超過(guò)x₁，x₂，x₃中最大的數(shù)．小明輸入這1991個(gè)數(shù)設(shè)次序是x₁，x₂，，x₁₉₉₁，相當(dāng)于計(jì)算：||||x₁-x₂|-x₃|-x₁₉₉₀|-x₁₉₉₁|=P．因此P的值≤1991．
另外從運(yùn)算奇偶性分析，x₁，x₂為整數(shù)．
|x₁-x₂|與x₁+x₂奇偶性相同．因此P與x₁+x₂++x₁₉₉₁的奇偶性相同．
但x₁+x₂++x₁₉₉₁=1+2+1991=偶數(shù)．于是斷定P≤1990．我們證明P可以取到1990．
對(duì)1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．
|||（4k+1）-（4k+3）|（4k+4）|-（4k+2）=|0，對(duì)k=0，1，2，均成立．因此，1-1988可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為0．而后||1989-1990|-1991|=1990．
所以P的最大值為1990．
故答案為：1990．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了整數(shù)的奇偶性問(wèn)題，雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察和分情況討論的能力．