Question

如圖，已知點A（0，4），B（2，0）．

（1）求直線AB的函數(shù)解析式；

（2）已知點M是線段AB上一動點（不與點A、B重合），以M為頂點的拋物線y=（x﹣m）²+n與線段OA交于點C．

①求線段AC的長；（用含m的式子表示）

②是否存在某一時刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時m的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b，

∵點A坐標(biāo)為（0，4），點B坐標(biāo)為（2，0），

∴，解得：。

∴直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣2x+4。

（2）①∵以M為頂點的拋物線為y=（x﹣m）²+n，

∴拋物線頂點M的坐標(biāo)為（m，n）。

∵點M在線段AB上，∴n=﹣2m+4。

∴y=（x﹣m）²﹣2m+4。

把x=0代入y=（x﹣m）²﹣2m+4，得y=m²﹣2m+4，

∴C點坐標(biāo)為（0，m²﹣2m+4）。

∴AC=OA﹣OC=4﹣（m²﹣2m+4）=﹣m²+2m。

②存在某一時刻，能夠使得△ACM與△AMO相似。理由如下：

過點M作MD⊥y軸于點D，則D點坐標(biāo)為（0，﹣2m+4），

∴AD=OA﹣OD=4﹣（﹣2m+4）=2m。

∵M(jìn)不與點A、B重合，∴0＜m＜2。

又∵M(jìn)D=m，∴。

∵在△ACM與△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，

∴當(dāng)△ACM與△AMO相似時，假設(shè)△ACM∽△AMO。

∴，即。

整理，得 9m²﹣8m=0，解得m=或m=0（舍去），

∴存在一時刻使得△ACM與△AMO相似，此時m=

【解析】

試題分析：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b，將A、B兩點的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式。

（2）①先由拋物線的頂點式為y=（x﹣m）²+n得出頂點M的坐標(biāo)為（m，n），由點M是線段AB上一動點，得出n=﹣2m+4，則y=（x﹣m）²﹣2m+4，再求出拋物線y=（x﹣m）²+n與y軸交點C的坐標(biāo)，然后根據(jù)AC=OA﹣OC即可求解。

②過點M作MD⊥y軸于點D，則D點坐標(biāo)為（0，﹣2m+4），AD=OA﹣OD=2m，由勾股定理求出AM=m．在△ACM與△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以當(dāng)△ACM與△AMO相似時，只能是△ACM∽△AMO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出，即，解方程求出m的值即可。