Question

如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與M、C重合），以AB為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E．

（1）求證：OF∥BE；

（2）設(shè)BP=x，AF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（3）延長(zhǎng)DC、FP交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)交直線DC與H（圖2），問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使△EFO∽△EHG（E、F、O與E、H、G為對(duì)應(yīng)點(diǎn)）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

圓的綜合題．

分析：

（1）首先證明Rt△FAO≌Rt△FEO進(jìn)而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案；

（2）過(guò)F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)M是BC中點(diǎn)以及BC=2，即可得出BP的取值范圍；

（3）首先得出當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF時(shí)，即∠EOF=30°時(shí)，Rt△EFO∽R(shí)t△EHG，求出y=AF=OA•tan30°=，即可得出答案．

解答：

（1）證明：連接OE

FE、FA是⊙O的兩條切線

∴∠FAO=∠FEO=90°

在Rt△OAF和Rt△OEF中，

∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），

∴∠AOF=∠EOF=∠AOE，

∴∠AOF=∠ABE，

∴OF∥BE，

（2）解：過(guò)F作FQ⊥BC于Q

∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y

PF=EF+EP=FA+BP=x+y

∵在Rt△PFQ中

∴FQ²+QP²=PF²

∴2²+（x﹣y）²=（x+y）²

化簡(jiǎn)得：，（1＜x＜2）；

（3）存在這樣的P點(diǎn)，

理由：∵∠EOF=∠AOF，

∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，

當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF時(shí)，

即∠EOF=30°時(shí)，Rt△EFO∽R(shí)t△EHG，

此時(shí)Rt△AFO中，

y=AF=OA•tan30°=，

∴

∴當(dāng)時(shí)，△EFO∽△EHG．

點(diǎn)評(píng)：

此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出FQ²+QP²=PF²是解題關(guān)鍵．