Question

已知以P（7，0）為圓心，25為半徑的⊙P，交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，若在圓上有一點Q使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形為梯形，則Q點坐標為

（14，24）、（-8，-20）、（22，20）、（-

548

25

，-

336

25

）

．

Answer 1

分析：此題需要分類討論．①當BQ∥AP時，求點Q的坐標；②當AB∥PQ時，求點Q的坐標；③當AQ∥BP時，求點Q的坐標．

解答：解：如圖，在⊙P中，P（7，0），AP=BP=25．
則易求A（-18，0），B（0，24）．
所以，直線AB的解析式為：y=

4

3

x+24．
直線BP的解析式為：y=-

24

7

x+24．
①當BQ∥AP時，點Q位于第一象限．設Q（x，24），則（x-7）²+24²=25²，
解得，x=14，
所以Q₁（14，24）；

②當AB∥PQ時，設PQ的直線為y=

4

3

x+b₂．
∵P（7，0），
∴0=

4

3

×7+b₂，
解得，b₂=-

28

3

，
∴直線PQ的解析式是：y=

4

3

x-

28

3

．
又∵點Q在圓P上，
∴

y= 4 3 x- 28 3 (x-7)2+y2=252

，
解得，

x=22 y=20

或

x=-8 y=-20

，即Q₂（22，20），Q₃（-8，-20）．

④當AQ∥BP時，點Q位于第四象限，設直線AQ的解析式是y=-

24

7

x+b₁．
∵A（-18，0），
∴0=-

24

7

×（-18）+b₁，
解得，b₁=-

432

7

，
∴直線AQ的解析式為：y=-

24

7

x-

432

7

，則

y=- 24 7 x- 432 7 (x-7)2+y2=252

，
解得，

x=- 548 25 y=- 336 25

，即Q₄（-

548

25

，-

336

25

）；
綜上所述，符合條件的點Q的坐標分別是：（14，24）、（-8，-20）、（22，20）、（-

548

25

，-

336

25

）．
故答案是：（14，24）、（-8，-20）、（22，20）、（-

548

25

，-

336

25

）．

點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識點有：勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二元一次方程組的解法等．解答該題時，要結(jié)合圖形，分類討論，以防漏解．