Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CE∥OD，DE∥OC，

∴四邊形OCED是平行四邊形，

∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC= AC，OD= BD，

∴OC=OD，

∴四邊形OCED是菱形；

（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，

∴BC=2，

∴AB=DC=2 ，

連接OE，交CD于點(diǎn)F，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴F為CD中點(diǎn)，

∵O為BD中點(diǎn)，

∴OF= BC=1，

∴OE=2OF=2，

∴S菱形OCED= ×OE×CD= ×2×2 =2 ．

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得出四邊形OCED是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OC=OD，然后依據(jù)菱形的定義進(jìn)行判斷即可．
（2）首先連接OE，交CD于點(diǎn)F，然后，解直角三角形求出BC=2．AB=DC=2,接下來，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出F為CD中點(diǎn)，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，最后，依據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求解即可.