Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-2，0），點B是點A關(guān)于原點的對稱點，P是函數(shù)圖象上的一點，且△ABP是直角三角形．
（1）求點P的坐標(biāo)；
（2）如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、P三點，求這個二次函數(shù)的解析式；
（3）如果第（2）小題中求得的二次函數(shù)圖象與y軸交于點C，過該函數(shù)圖象上的點C，點P的直線與x軸交于點D，試比較∠BPD與∠BAP的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得點B的坐標(biāo)為（2，0）．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），
由題意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．
（i）當(dāng)∠ABP=90°時，x=2，y=1，
∴點P坐標(biāo)是（2，1）；
（ii）當(dāng)∠APB=90°時，PA²+PB²=AB²，
即（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=16①．
又由，可得y²=，
代入①解得：（負值不合題意，舍去）．
當(dāng)時，．
∴點P點坐標(biāo)是（，）．
綜上所述，點P坐標(biāo)是（2，1）或（，）．

（2）設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
（i）當(dāng)點P的坐標(biāo)為（2，1）時，點A、B、P不可能在同一個二次函數(shù)圖象上；
（ii）當(dāng)點P的坐標(biāo)為（，）時，代入A、B、P三點的坐標(biāo)，
解得：
∴所求的二次函數(shù)解析式為．

（3）∠BPD=∠BAP．
證明如下：
∵點C坐標(biāo)為（0，），
∴直線PC的表達式為．
∴點D坐標(biāo)為（，0）．
∴PD=2，BD=，AD=．
，
∴．
∵∠PDB=∠ADP，
∴△PBD∽△APD．
∴∠BPD=∠BAP．
分析：（1）先求得B點坐標(biāo)，再分析△ABP滿足是直角三角形時P點的情況，可分為AB為直角邊和AB為斜邊兩種情況作答．
（2）對（1）求得的P點坐標(biāo)分別討論是否滿足二次函數(shù)拋物線，求得二次函數(shù)的解析式．
（3）由點的坐標(biāo)可證得△PBD∽△APD，則∠BPD與∠BAP滿足相等．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，重點是求解函數(shù)的解析式．