Question

若α、β是兩個不相等的實數(shù)，且滿足α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，那么代數(shù)式α²+2β²-2β的值是________．

Answer 1

7
分析：由題意，可知α、β是一元二次方程x²-2x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=2①，再將等式α²-2α-1=0與β²-2β-1=0變形，分別用含α、β的一次項表示其二次項，得到α²=2α+1②，β²=2β+1 ③，把①②③式分別代入，即可求出代數(shù)式α²+2β²-2β的值．
解答：∵α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，且α、β是兩個不相等的實數(shù)，
∴α、β是方程x²-2x-1=0的兩個不等實根，
∴α+β=2 ①；
又∵α²-2α-1=0，
∴α²=2α+1 ②，
∵β²-2β-1=0，
∴β²=2β+1 ③，
把①②③分別代入，得
α²+2β²-2β=（2α+1）+2（2β+1）-2β=2（α+β）+3=2×2+3=7．
故答案為7．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及求代數(shù)式的值的方法，難度中等．關(guān)鍵是能夠通過觀察，得出α、β是方程x²-2x-1=0的兩個不等實根．