Question

AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC²+ED²=2．

Answer 1

證明：作CD關(guān)于AB的對(duì)稱直線FG，
∵∠AEC=45°，
∴∠AEF=45°，
∴CD⊥FG，
∴CG²=CE²+EG²，
即CG²=CE²+ED²，
∵△OCD≌△OGF（SSS），
∴∠OCD=∠OGF．
∴O，C，G，E四點(diǎn)共圓．
∴∠COG=∠CEG=90°．
∴CG²=OC²+OG²=2．
∴EC²+ED²=2．
分析：首先作CD關(guān)于AB的對(duì)稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG²=CE²+ED²，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點(diǎn)共圓，則可求得CG²=OC²+OG²=2．繼而證得EC²+ED²=2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用以及四點(diǎn)共圓的知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．