【題目】已知拋物線,其中.

(1)直接寫出關于的一元二次方程的一個根;

(2)證明:拋物線的頂點在第三象限;

(3)直線軸分別相交于兩點,與拋物線相交于兩點.設拋物線的對稱軸與軸相交于,如果在對稱軸左側的拋物線上存在點,使相似.并且,求此時拋物線的表達式.

【答案】(1)x=1(2)證明見解析(3)y=x2+2x﹣3

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)a+b+c=0,結合方程確定出方程的一個根即可;

(2)表示出拋物線的對稱軸,將2a=b代入,并結合a+b+c=0,表示出c,判斷頂點坐標即可;

(3)根據(jù)表示出的b與c,求出方程的解確定出拋物線解析式,由直線y=x+m與x,y軸交于B,C兩點,表示出OB=OC=|m|,可得出三角形BOC為等腰直角三角形,確定出三角形三角形ADE面積,根據(jù)三角形ADF等于三角形ADE面積的一半求出a的值,即可確定出拋物線解析式.

試題解析:(1)拋物線y=ax2+bx+c,a+b+c=0,

關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根為x=1;

(2)證明:2a=b,

對稱軸x=﹣=﹣1,

把b=2a代入a+b+c=0中得:c=﹣3a,

a0,c0,

∴△=b2﹣4ac0,

0,

則頂點A(﹣1,)在第三象限;

(3)由b=2a,c=﹣3a,得到x==

解得:x1=﹣3,x2=1,

二次函數(shù)解析式為y=ax2+2ax﹣3a,

直線y=x+m與x,y軸分別相交于點B,C兩點,則OB=OC=|m|,

∴△BOC是以BOC為直角的等腰直角三角形,即此時直線y=x+m與對稱軸x=﹣1的夾角BAE=45°,

點F在對稱軸左側的拋物線上,則DAF45°,此時ADF與BOC相似,

頂點A只可能對應BOC的直角頂點O,即ADF是以A為直角頂點的等腰直角三角形,且對稱軸為x=﹣1,

設對稱軸x=﹣1與OF交于點G,

直線y=x+m過頂點A(﹣1,﹣4a),

m=1﹣4a,

直線解析式為y=x+1﹣4a,

聯(lián)立得:,

解得:,

這里(﹣1,﹣4a)為頂點A,(﹣1,﹣4a)為點D坐標,

點D到對稱軸x=﹣1的距離為﹣1﹣(﹣1)=,AE=|﹣4a|=4a,

SADE=××4a=2,即它的面積為定值,

這時等腰直角ADF的面積為1,

底邊DF=2,

而x=﹣1是它的對稱軸,此時D、C重合且在y軸上,由﹣1=0,

解得:a=1,此時拋物線解析式為y=x2+2x﹣3.

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階梯

電量

電價

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0.6元/度

二檔

181~400度

二檔電價

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