Question

平面是這樣，那曲面呢？我們再看一題（如圖1），從A到B，怎樣走最近呢？與前兩題相同，把圓柱體展開（如圖2），此時，只有A點位于與長方形的交界處時，才是最短路徑，且只有一條最短路徑AB．

從上面幾題可以看出立體圖形中的最短路徑問題，都可先把立題圖形轉化成平面圖形再思考．而且得出正方體有6條最短路徑；長方體有2條最短路徑；圓柱有1條最短路徑．這短短的八個字還真是奧妙無窮��！
探究問題一：已知，A，B在直線L的兩側，在L上求一點，使得PA+PB最�。�（如圖所示）

探究問題二：已知，A，B在直線L的同一側，在L上求一點，使得PA+PB最�。�（如圖所示）

探究問題三：A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）

探究問題四：AB是銳角MON內部一條線段，在角MON的兩邊OM，ON上各取一點C，D組成四邊形，使四邊形周長最�。�（如圖所示）

Answer 1

分析：（1）根據兩點之間線段最短的基本概念，只用連接AB即可輕松的得到答案．
（2）下面一題，就是上一題的變形，本題的難點不在于解題過程，而在于解題的思想：將折線長的問題轉化為線段長的問題來解答．
（3）利用探究問題二的結論，作A與OM的對稱點D，再作A與ON的對稱點E，將周長問題轉化為線段長度的問題解答．
（4）由于AB長度固定，四邊形周長最小，即除AB外其余各邊之和最小．

解答：（1）解：如圖所示．線段AB與直線L的交點，就是題目要求的點P．
（2）解：．
首先，作點B關于L的對稱點B′，（如圖所示），
因為OB'=OB，∠BOP=∠B′，OP=OP，所以△OPB≌△OPB′．
所以，PB=PB′．
因此，求AP+BP就相當于求AP+PB′．
這樣，復雜的問題便通過轉化變得簡單，成了探究問題一．
因此只用連接AB'即可，與直線L的交點，就是題目要求的點P．
（3）解：利用探究問題二的結論，
作A與OM的對稱點D，再作A與ON的對稱點E．
連接DE（如圖所示），據上題結論，我們可得，
AB=BD，AC=CE，又因為D，B，C，E在一條直線上，
所以，這時的周長是最短的．
（4）解：有了上一題的鋪墊，
本題似乎簡單了許多，作A關于OM的對稱點E，
再作B關于ON的對稱點F，連接EF即可．
如圖．ABCD便是周長最小的．

點評：此題考查了軸對稱最短路徑問題，（1）本題雖然十分簡單，但卻是所有有關本類題目難題的基礎，是必須要牢記與掌握的；
（2）將折線長度問題轉化為線段，我們完全也可以把以上的結論當作一個模塊牢記下來，成為自己解題的方法之一；
（3）分別作出A關于OM、ON的對稱點，連接兩對稱點，轉化為兩點之間線段最短是解答此類題目的關鍵；
（4）分別作出A、B關于OM、ON的對稱點，連接兩對稱點，轉化為兩點之間線段最短是解答此類題目的關鍵．