Question

（2013•黃浦區(qū)二模）如圖，MN是⊙O的直徑，點(diǎn)A是弧

MN

的中點(diǎn)，⊙O的弦AB交直徑MN于點(diǎn)C，且∠ACO=2∠CAO
（1）求∠CAO的度數(shù)；
（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為

3

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系判斷出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩角互補(bǔ)的性質(zhì)求出∠CAO的度數(shù)即可；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，由垂徑定理可知AD=

1

2

AB，在Rt△AOD中由銳角三角函數(shù)的定義可求出AD的長(zhǎng)，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵M(jìn)N是⊙O的直徑，點(diǎn)A是弧

MN

的中點(diǎn)，
∴∠AOM=

1

4

×360°=90°，
∴∠ACO+∠CAO=90°，
∵∠ACO=2∠CAO，
∴3∠CAO=90°，解得∠CAO=30°；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)O是圓心，
∴AD=

1

2

AB，
在Rt△AOD中，
∵OA=

3

，∠CAO=30°，
∴AD=OA•cos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴AB=2AD=2×

3

2

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理及圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．