Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）．

（1）求b、c的值；
（2）如圖1直線y=kx+1（k＞0）與拋物線第一象限的部分交于D點(diǎn)，交y軸于F點(diǎn)，交線段BC于E點(diǎn)．求 的最大值；
（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．問(wèn)在直線BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）帶入到拋物線解析式中得：

，

解得： ．

（2）

解：作DN∥CF交CB于N，如圖1所示．

∵DN∥CF，

∴△DEN∽△FEC，

∴ ．

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

令直線y=kx+1中x=0，則y=1，

即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），

∴DN=﹣m2+3m，CF=3﹣1=2，

∴ = ，

∵DN=﹣m2+3m=﹣ + 的最大值為 ，

∴ 的最大值為 ．

（3）

解：假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)Q．

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），PM的解析式為x=1，

∵直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∴M的坐標(biāo)為（1，2），

∵點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，0），

∴PM=GM=2．

設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作作直線BC的平行線，如圖2所示．

∴過(guò)點(diǎn)G與BC平行的直線為y=﹣x+1．

聯(lián)立直線與拋物線解析式得： ，

解得： 或 ．

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．

∵平行線間距離處處相等，且點(diǎn)M為線段PG的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)Q到直線BC的距離與點(diǎn)P到直線的距離相等．

故在直線BC下方的拋物線上存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．

【解析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)帶入到拋物線解析式中，得出關(guān)于b、c的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（2）作DN∥CF交CB于N，由DN∥CF可得出△DEN∽△FEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 ，由（1）可得出拋物線的解析式，令拋物線解析式中x=0則可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得出直線BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，則可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由直線DF的解析式可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得出DN、CF的長(zhǎng)度，由DN的長(zhǎng)度結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)Q．設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作作直線BC的平行線．由拋物線的解析式可得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此得出對(duì)稱軸的解析式，結(jié)合直線BC的解析式可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)G的坐標(biāo)可知PM=GM，由此得出滿足題意的點(diǎn)Q為“過(guò)點(diǎn)G與直線BC平行的直線和拋物線的交點(diǎn)”，由G點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合直線BC的解析式即可得出過(guò)點(diǎn)G與BC平行的直線的解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式得出關(guān)于x、y的二元二次方程組，解方程即可得出結(jié)論．