Question

（2012•梁子湖區(qū)模擬）2011年上半年，黃岡大別山地區(qū)某市某種農(nóng)產(chǎn)品受不良炒作的影響，價(jià)格一路上揚(yáng)，8月初國家實(shí)施調(diào)控措施后，該農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格開始回落，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，1月份至12月份，該農(nóng)產(chǎn)品的月平均價(jià)格y（元/千克）與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在如圖所示的圖象上；該圖象從左至右，依次是線段AB、曲線BC，其中曲線BC為拋物線的一部分，已知1月、7月、9月和12月這四個(gè)月的月平均價(jià)格分別為8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．
（1）求該農(nóng)產(chǎn)品的月平均價(jià)格y（元/千克）與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式？
（2）2011年的12個(gè)月中，這種農(nóng)產(chǎn)品的月平均價(jià)格哪個(gè)月最低？最低為多少？
（3）若以12個(gè)月份的月平均價(jià)格的平均數(shù)為年平均價(jià)格，月平均價(jià)格高于年平均價(jià)格的月份有哪些？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象，函數(shù)解析式分為兩段，當(dāng)1≤x≤7時(shí)，為一次函數(shù)解析式，當(dāng)7≤x≤12時(shí)，為二次函數(shù)解析式，分別設(shè)一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，根據(jù)圖象上的點(diǎn)，分別求解析式；
（2）由圖象可知一次函數(shù)最小值為8，用配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，得出二次函數(shù)的最小值，比較最小值即可；
（3）由一次函數(shù)可知，以x=4時(shí)的月平均價(jià)格17代表前7個(gè)月的平均值，再根據(jù)二次函數(shù)解析式，分別求出后5個(gè)月的月的平均值，再求年平均價(jià)格，把那個(gè)月的月平均價(jià)格與年平均價(jià)格進(jìn)行比較即可．

解答：解：（1）當(dāng)1≤x≤7時(shí)，設(shè)y=kx+m．
將點(diǎn)（1，8）、（7，26）分別代入y=kx+m，
得

k+m=8 7k+m=26.

解之，得

m=5 k=3.

∴函數(shù)解析式為y=3x+5；
當(dāng)7≤x≤12時(shí)，設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0）．
將（7，26）、（9，14）、（12，11）分別代入y=ax²+bx+c，
得：

49a+7b+c=26 81a+9b+c=14 144a+12b+c=11.

解之，得

a=1 b=-22 c=131.

∴函數(shù)解析式為y=x²-22x+131．
故該農(nóng)產(chǎn)品的月平均價(jià)格y（元/千克）與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式為：
y=

3x+5…(1≤x≤7) x2-22x+131…(7≤x≤12)

；

（2）當(dāng)1≤x≤7時(shí)，函數(shù)y=3x+5中y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x_最小值=1時(shí)，y_最小值=3×1+5=8．
當(dāng)7≤x≤12時(shí)，y=x²-22x+131=（x-11）²+10，
∴當(dāng)x=11時(shí)，y_最小值=10．
所以，該農(nóng)產(chǎn)品平均價(jià)格最低的是1月，最低為8元/千克．

（3）∵1至7月份的月平均價(jià)格呈一次函數(shù)，
∴x=4時(shí)的月平均價(jià)格17是前7個(gè)月的平均值．
將x=8，x=10和x=11分別代入y=x²-22x+131，得y=19，y=11和y=10．
∴后5個(gè)月的月平均價(jià)格分別為19，14，11，10，11．
∴年平均價(jià)格為

.

y

=

17×7+19+14+11+10+11

12

=

46

3

≈15.3（元/千克）．
當(dāng)x=3時(shí)，y=14＜15.3．
∴4，5，6，7，8這五個(gè)月的月平均價(jià)格高于年平均價(jià)格．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用．關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象，分段求出兩個(gè)函數(shù)解析式，運(yùn)用解析式解題．