Question

已知拋物線y=ax²-5ax+c與直線y=mx+n交于點A（-3，0）點B（5，4），與y軸交于點C．
（1）求拋物線與直線的解析式和點C的坐標(biāo)．
（2）若點M是直線AB上的拋物線上一點，求△MAB的最大面積．
（3）若點P是直線x=1上一點，是否存在一點P，使△PAB是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（-3，0），B（5，4）兩點坐標(biāo)分別代入y=ax²-5ax+c與y=mx+n中，可求a、c及m、n的值，確定拋物線與直線的解析式，令拋物線解析式中x=0，可求點C的坐標(biāo)；
（2）過點M作MF⊥x軸，交直線AB于E，設(shè)M、E兩點的橫坐標(biāo)為m，分別用拋物線、直線的解析式表示兩點縱坐標(biāo)，根據(jù)S_△MAB=S_△AME+S_△BME，列出關(guān)于m的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最大值；
（3）過點B作BN⊥x軸，由勾股定理求AB，分別以A、B兩點為圓心，AB長為半徑畫弧，與直線x=1交于四個點，由對稱性及勾股定理可求四點坐標(biāo)．

解答：解：把點A（-3，0）和點B（5，4）代入y=ax²-5ax+c
得

9a+15a+c=0 25a-25a+c=4

解得

a=- 1 6 c=4

，
∴y=-

1

6

x²+

5

6

x+4，
把點A（-3，0）和點B（5，4）代入y=mx+n得

-3m+n=0 5m+n=4

，
解得

m= 1 2 n= 3 2

，
∴y=

1

2

x+

3

2

，
當(dāng)x=0時，y=-

1

6

x²+

5

6

x+4=4，
故C（0，4）；

（2）過點M作MF⊥x軸，交直線AB于E，過點B作BN⊥x軸，
設(shè)M（m，-

1

6

m²+

5

6

m+4）
E（m，

1

2

m+

3

2

），
S_△MAB=S_△AME+S_△BME=

1

2

ME•AF+

1

2

ME•FN=

1

2

ME•AN
=

1

2

（-

1

6

m²+

5

6

m+4-

1

2

m-

3

2

）×8
=-

2

3

m²+

4

3

m+

10

3

，
∵-

2

3

＜0，
∴當(dāng)m=-

4 3

2(- 2 3 )

=1時，S最大值=4；

（3）存在；
P點坐標(biāo)為（1，8）或（1，-8）或（1，-4）或（1，12）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法，拋物線的頂點公式的運用及三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．