Question

已知二次函數(shù)y=x²+2mx-n²．
（1）若此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），且記m，n+4兩數(shù)中較大者為P，試求P的最小值；
（2）若m、n變化時(shí)，這些函數(shù)的圖象是不同的拋物線(xiàn)，如果每條拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸都有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)作圓，證明：這些圓都經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1，1），
得m=，
∴m-（n+4）=-（n+4），
= （n2-2n-8），
= （n-4）（n+2），
∴P=，n≤-2或n≥4；
P=n+4，-2＜n＜4，
再利用函數(shù)圖象可知，當(dāng)n=-2時(shí)，Pmin=2；

（2）圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
可設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，0）、B（x₂，0）、C（0，-n²）．
又x₁x₂=-n²，
若n=0，則與三個(gè)交點(diǎn)不符，
故x₁x₂=-n²＜0．
所以，x₁、x₂在原點(diǎn)左右兩側(cè)．
又|x₁x₂|=n²×1，
所以，存在點(diǎn)P0（0，1）使得|OA|•|OB|=|OP0|•|OC|．
故A、B、C、P0四點(diǎn)共圓，即這些圓必過(guò)定點(diǎn)P0（0，1）．
分析：（1）本題需先根據(jù)題意把點(diǎn)（1，1）代入二次函數(shù)式中，求出m的值，再用m和n+4進(jìn)行相減，然后進(jìn)行討論即可求出答案．
（2）根據(jù)已知條件，設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后x₁與x₂相乘，再分別進(jìn)行討論即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，在解題時(shí)要根據(jù)已知條件，分別進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．