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△ABC中,G為重心,l是過G的一條動直線,且分別交AB、AC于點E、F,設S△ABC=1,問l在何處時,所截得的△AEF面積取到最大值或最小值.

解:如圖所示,
連接AG并延長交BC于D,分別過A、B、D、C作l的垂線,垂足分別為H、K、P、Q,則BK∥AH∥PD∥CQ,
,且
,
又G為△ABC的重心,
∴BD=DC,
∴BK+CQ=2DP,


(0≤x≤1),

而2≤(當時,右邊取等號,即最大值;當x=0或1時,左邊取等號,即最小值)

即當時,△AEF面積取到最大值;當x=0或1時,△AEF面積取到最小值.
分析:如圖所示,連接AG并延長交BC于D,分別過A、B、D、C作l的垂線,垂足分別為H、K、P、Q,
.由垂直得平行的四條直線,根據平行線的性質、梯形中位線的性質求得,BK+CQ=2DP,設(0≤x≤1),則,討論x的取值即可.
點評:此題考查了重心的概念和性質、平行線的判定和性質、梯形中位線定理等知識點,難度大,作輔助線也很關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

在△ABC中,O為三角形內一點,D、E、F分別在BC、AC、AB上,AD、BE、CF過點O,AO:OD=2:1,則AD一定經過△ABC的(  )
A、垂心B、外心C、重心D、內心

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,點D是邊BC上任意一點,點E、F分別是△ABD和△ACD的重心.如果BC=6
那么線段EF的長為( 。

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科目:初中數學 來源: 題型:單選題

在△ABC中,O為三角形內一點,D、E、F分別在BC、AC、AB上,AD、BE、CF過點O,AO:OD=2:1,則AD一定經過△ABC的


  1. A.
    垂心
  2. B.
    外心
  3. C.
    重心
  4. D.
    內心

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科目:初中數學 來源:2009年湖北省鄂州高中自主招生考試數學試卷(解析版) 題型:選擇題

在△ABC中,O為三角形內一點,D、E、F分別在BC、AC、AB上,AD、BE、CF過點O,AO:OD=2:1,則AD一定經過△ABC的( )
A.垂心
B.外心
C.重心
D.內心

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