如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,P是邊AB(含端點)上的動點.過P作BC的垂線PR,R為垂足,∠PRB的平分線與AB相交于點S,在線段RS上存在一點T,若以線段PT為一邊作正方形PTEF,其頂點E,F恰好分別在邊BC,AC上.
(1)△ABC與△SBR是否相似,說明理由;
(2)請你探索線段TS與PA的長度之間的關(guān)系;
(3)設(shè)邊AB=1,當P在邊AB(含端點)上運動時,請你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值.
解:(1)∵RS是直角∠PRB的平分線,∴∠PRS=∠BRS=45°. 在△ABC與△SBR中,∠C=∠BRS=45°,∠B是公共角, ∴△ABC∽△SBR.(1分) (2)線段TS的長度與PA相等.(2分) ∵四邊形PTEF是正方形, ∴PF=PT,∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°, 在Rt△PFA中,∠PFA+∠FPA=90°, ∴∠PFA=∠TPS, ∴Rt△PAF≌Rt△TSP,∴PA=TS.(3分) 當點P運動到使得T與R重合時, 這時△PFA與△TSP都是等腰直角三角形且底邊相等,即有PA=TS. (若下面解題中沒有求出x的取值范圍是0≤x≤,以上的討論可評1分) 由以上可知,線段ST的長度與PA相等. (3)由題意,RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高, ∴PS=BS,∴BS+PS+PA=1,∴PS=.(4分) 設(shè)PA的長為x,易知AF=PS, 則y=PF=PA+PS,得y=x+(), 即y=,(5分) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),當x=時,y有最小值為 (6分) 如圖2,當點P運動使得T與R重合時,PA=TS為最大. 易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR, ∴PA=. 如圖3,當P與A重合時,得x=0. ∴x的取值范圍是0≤x≤ (7分) (此處為獨立得分點,只要求出x≤即可得1分) ∴①當x的值由0增大到時,y的值由減小到(8分) ∴②當x的值由增大到時,y的值由增大到 (8分) (說明:①②任做對一處評1分,兩處全對也只評一分) ∵≤≤,∴在點P的運動過程中, 正方形PTEF面積y的最小值是,y的最大值是 (9分) |
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