Question

如圖，E是正方形ABCD中AD邊的中點，延長BA到點F，使AF=AE，判斷BE與DF之間有何關系？并說明理由．

Answer 1

解：BE=DF且BE⊥DF．
理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠FAD=∠EAB=90°，AD=AB，
而AF=AE，
∴把△AFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AEB；
延長BE交DF于G，如圖，
∵把△AFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AEB，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵∠AEB=∠DEG，∠BAE=90°
∴∠ABE+∠AEB=∠ADF+∠DEG=90°，
∴∠DGE=90°，
即BE⊥DF，
∴BE=DF且BE⊥DF．
分析：由四邊形ABCD為正方形，得到∠FAD=∠EAB=90°，AD=AB，而AF=AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到把△AFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AEB；再延長BE交DF于G，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=DF，∠ABE=∠ADF，得到∠ABE+∠AEB=∠ADF+∠DEG=90°，即BE⊥DF．所以BE=DF且BE⊥DF．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)．