Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動變化過程中，有下列五個結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；  ②四邊形CDFE不可能為正方形；
③DE長度的最小值為4；     ④四邊形CDFE的面積保持不變；
⑤△CDE面積的最大值為8．其中正確結(jié)論是    ．

Answer 1

【答案】分析：解答此題的關(guān)鍵是在于判斷△DFE是否等腰直角三角形；做常規(guī)輔助線，連接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，從而可證∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正確；②，再由補(bǔ)割法可證④是正確的．判斷③與⑤，①△DFE是等腰直角三角形；可得DE=DF，當(dāng)DF⊥BC時，DF最小，DE取最小值4，故③錯誤，△CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去△DEF的最小面積，由③可知⑤是正確的，個，故①④⑤正確．
解答：解；連接CF．

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴①正確；
當(dāng)D、E分別為AC，BC的中點(diǎn)時，四邊形CDEF是正方形，
因此②錯誤；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF，
∴④是正確的；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴當(dāng)DE最小時，DF也最小，
即當(dāng)DF⊥AC時，DE最小，此時DF=BC=4，
∴DE=DF=4，
∴③錯誤；
當(dāng)△CDE面積最大時，由④知，此時△DEF的面積最小，此時，
S_△CDE=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，
∴⑤正確．綜上所述正確的有①④⑤．
故答案為：①④⑤．
點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，是一道難題．