Question

如圖，B為雙曲線y=

k

x

（x＞0）上一點，直線AB平行于y軸交直線y=x于點A，交x軸于點D，y=

k

x

與直線y=x交于點C，若OB²-AB²=4
（1）求k的值；
（2）點B的橫坐標(biāo)為4時，求△ABC的面積；
（3）雙曲線上是否存在點B，使△ABC∽△AOD？若存在，求出點B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)D點坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)分別直線上點的坐標(biāo)特征和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到A點坐標(biāo)為（a，a），B點坐標(biāo)為（a，

k

a

），則AB=a-

k

a

，BD=

k

a

，在Rt△OBD中，利用勾股定理得OB²=BD²+OD²=（

k

a

）²+a²，由于OB²-AB²=4，所以（

k

a

）²+a²-（a-

k

a

）²=4，然后解方程可得到k=2；
（2）作CM⊥AB于M，解方程組

y=x y= 2 x

可得到C點坐標(biāo)為（

2

，

2

），由于點B的橫坐標(biāo)為4，所以A點坐標(biāo)為（4，4），B點坐標(biāo)為（4，

1

2

），則AB=4-

1

2

=

7

4

，然后根據(jù)三角形面積公式計算S_△ABC；
（3）由于△ABC∽△AOD，根據(jù)相似的判定得到△ACB為等腰直角三角形，且∠ACB=90°，根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CM=

1

2

AB，
設(shè)B點坐標(biāo)為（a，

2

a

），則A點坐標(biāo)為（a，a），則AB=|a-

2

a

|，而C點坐標(biāo)為（

2

，

2

），所以CM=|a-

2

|，于是得到|a-

2

|=

1

2

|a-

2

a

解得a=

2

或a=-

2

3

（舍去），則B點坐標(biāo)為（

2

，

2

），此時C與B重合，所以不構(gòu)成三角形，故不存在．

解答：解：（1）設(shè)D點坐標(biāo)為（a，0），
∵AB∥y軸，點A在直線y=x上，B為雙曲線y=

k

x

（x＞0）上一點，
∴A點坐標(biāo)為（a，a），B點坐標(biāo)為（a，

k

a

），
∴AB=a-

k

a

，BD=

k

a

，
在Rt△OBD中，OB²=BD²+OD²=（

k

a

）²+a²，
∵OB²-AB²=4，
∴（

k

a

）²+a²-（a-

k

a

）²=4，
∴k=2；
（2）作CM⊥AB于M，如圖，
解方程組

y=x y= 2 x

得

x= 2 y= 2

或

x=- 2 y=- 2

，
∴C點坐標(biāo)為（

2

，

2

）
∵點B的橫坐標(biāo)為4，
∴A點坐標(biāo)為（4，4），B點坐標(biāo)為（4，

1

2

），
∴AB=4-

1

2

=

7

4

，
∴S_△ABC=

1

2

CM•AB
=

1

2

•（4-

2

）•

7

4

=7-

7 2

4

；
（3）不存在．理由如下：
∵△ABC∽△AOD，
而△OAD為等腰直角三角形，
∴△ACB為等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴CM=

1

2

AB，
設(shè)B點坐標(biāo)為（a，

2

a

），則A點坐標(biāo)為（a，a），
∴AB=|a-

2

a

|，
∵C點坐標(biāo)為（

2

，

2

）
∴CM=|a-

2

|，
∴|a-

2

|=

1

2

|a-

2

a

|，
∴（a-

2

）²=

1

4

•

(a2-2)2

a2

，即（a-

2

）²=

1

4

•

(a+ 2 )2•(a- 2 )2

a2

，
∴（a-

2

）²•[4a²-（a+

2

）²]=0，解得a=

2

或a=-

2

3

（舍去），
∴B點坐標(biāo)為（

2

，

2

），則此時C與B重合，所以不構(gòu)成三角形，故不存在．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)；會利用方程組的解確定兩函數(shù)的角點坐標(biāo)；會運用勾股定理進行計算．