綜合與實踐:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A.B兩點,與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.
(1)求直線AC的解析式及B.D兩點的坐標(biāo);
(2)點P是x軸上一個動點,過P作直線l∥AC交拋物線于點Q,試探究:隨著P點的運動,在拋物線上是否存在點Q,使以點A.P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)請在直線AC上找一點M,使△BDM的周長最小,求出M點的坐標(biāo).

解:(1)當(dāng)y=0時,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3。
∵點A在點B的左側(cè),∴A.B的坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(3,0)。
當(dāng)x=0時,y=3。∴C點的坐標(biāo)為(0,3)。
設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0),則
,解得。
∴直線AC的解析式為y=3x+3。
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴頂點D的坐標(biāo)為(1,4)。
(2)拋物線上有三個這樣的點Q。如圖,

①當(dāng)點Q在Q1位置時,Q1的縱坐標(biāo)為3,代入拋物線可得點Q1的坐標(biāo)為(2,3);
②當(dāng)點Q在點Q2位置時,點Q2的縱坐標(biāo)為﹣3,代入拋物線可得點Q2坐標(biāo)為(1+,﹣3);
③當(dāng)點Q在Q3位置時,點Q3的縱坐標(biāo)為﹣3,代入拋物線解析式可得,點Q3的坐標(biāo)為(1﹣,﹣3)。
綜上可得滿足題意的點Q有三個,分別為:Q1(2,3),Q2(1+,﹣3),Q3(1﹣,﹣3)。
(3)點B作BB′⊥AC于點F,使B′F=BF,則B′為點B關(guān)于直線AC 的對稱點.連接B′D交直線AC與點M,則點M為所求。
過點B′作B′E⊥x軸于點E。

∵∠1和∠2都是∠3的余角,∴∠1=∠2。
∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。
由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3,
∴AC=,AB=4。
,解得。∴BB′=2BF=,
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB,∴。
。∴B′E=,BE=!郞E=BE﹣OB=﹣3=
∴B′點的坐標(biāo)為(﹣,)。
設(shè)直線B′D的解析式為y=k2x+b2(k2≠0),則
,解得
∴直線B'D的解析式為:。
聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得:
,解得。
∴M點的坐標(biāo)為()。

解析

練習(xí)冊系列答案
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(2)點P是x軸上一個動點,過P作直線l∥AC交拋物線于點Q,試探究:隨著P點的運動,在拋物線上是否存在點Q,使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)請在直線AC上找一點M,使△BDM的周長最小,求出M點的坐標(biāo).

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