(2009•漳州)幾何模型:
條件:如下圖,A、B是直線l同旁的兩個定點.

問題:在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最。
方法:作點A關(guān)于直線l的對稱點A′,連接A′B交l于點P,則PA+PB=A′B的值最。ú槐刈C明).
模型應(yīng)用:
(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點,P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是______;
(2)如圖2,⊙O的半徑為2,點A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動點,求PA+PC的最小值;
(3)如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點,PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動點,求△PQR周長的最小值.
【答案】分析:(1)由題意易得PB+PE=PD+PE=DE,在△ADE中,根據(jù)勾股定理求得即可;
(2)作A關(guān)于OB的對稱點A′,連接A′C,交OB于P,求A′C的長,即是PA+PC的最小值;
(3)作出點P關(guān)于直線OA的對稱點M,關(guān)于直線OB的對稱點N,連接MN,它分別與OA,OB的交點Q、R,這時三角形PEF的周長=MN,只要求MN的長就行了.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC垂直平分BD,
∴PB=PD,
由題意易得:PB+PE=PD+PE=DE,
在△ADE中,根據(jù)勾股定理得,DE=;

(2)作A關(guān)于OB的對稱點A′,連接A′C,交OB于P,
PA+PC的最小值即為A′C的長,
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D,則∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=
;

(3)分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N,連接OM、ON、MN,MN交OA、OB于點Q、R,連接PR、PQ,此時△PQR周長的最小值等于MN.
由軸對稱性質(zhì)可得,OM=ON=OP=10,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB,
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°,
在Rt△MON中,MN===10
即△PQR周長的最小值等于10
點評:此題綜合性較強,主要考查有關(guān)軸對稱--最短路線的問題,綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識.
練習(xí)冊系列答案
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(2009•漳州)幾何模型:
條件:如下圖,A、B是直線l同旁的兩個定點.

問題:在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最。
方法:作點A關(guān)于直線l的對稱點A′,連接A′B交l于點P,則PA+PB=A′B的值最。ú槐刈C明).
模型應(yīng)用:
(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點,P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是______;
(2)如圖2,⊙O的半徑為2,點A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動點,求PA+PC的最小值;
(3)如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點,PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動點,求△PQR周長的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省鹽城市鹽都區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•漳州)幾何模型:
條件:如下圖,A、B是直線l同旁的兩個定點.

問題:在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最。
方法:作點A關(guān)于直線l的對稱點A′,連接A′B交l于點P,則PA+PB=A′B的值最小(不必證明).
模型應(yīng)用:
(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點,P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是______;
(2)如圖2,⊙O的半徑為2,點A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動點,求PA+PC的最小值;
(3)如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點,PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動點,求△PQR周長的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省鹽城市鞍湖實驗學(xué)校初三中考模擬試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•漳州)幾何模型:
條件:如下圖,A、B是直線l同旁的兩個定點.

問題:在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最。
方法:作點A關(guān)于直線l的對稱點A′,連接A′B交l于點P,則PA+PB=A′B的值最小(不必證明).
模型應(yīng)用:
(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點,P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是______;
(2)如圖2,⊙O的半徑為2,點A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動點,求PA+PC的最小值;
(3)如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點,PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動點,求△PQR周長的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年北京市延慶縣畢業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•漳州)幾何模型:
條件:如下圖,A、B是直線l同旁的兩個定點.

問題:在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最。
方法:作點A關(guān)于直線l的對稱點A′,連接A′B交l于點P,則PA+PB=A′B的值最。ú槐刈C明).
模型應(yīng)用:
(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點,P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是______;
(2)如圖2,⊙O的半徑為2,點A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動點,求PA+PC的最小值;
(3)如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點,PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動點,求△PQR周長的最小值.

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