Question

（2013•荊門）若拋物線y=x²+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且過點(diǎn)A（m，n），B（m+6，n），則n=

9

．

Answer 1

分析：首先，由“拋物線y=x²+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)”推知x=-

b

2

時(shí)，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c；
其次，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的定義知點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則A（-

b

2

-3，n），B（-

b

2

+3，n）；
最后，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征知n=（-

b

2

-3）²+b（-

b

2

-3）+c=-

1

4

b²+c+9，所以把b²=4c代入即可求得n的值．

解答：解：∵拋物線y=x²+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)x=-

b

2

時(shí)，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c．
又∵點(diǎn)A（m，n），B（m+6，n），
∴點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=-

b

2

對(duì)稱，
∴A（-

b

2

-3，n），B（-

b

2

+3，n）
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：n=（-

b

2

-3）²+b（-

b

2

-3）+c=-

1

4

b²+c+9
∵b²=4c，
∴n=-

1

4

×4c+c+9=9．
故答案是：9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．