Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為2，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點（B，C兩點除外）．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求△ABC面積的最大值．
（參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos30°=，tan30°=．）

Answer 1

解：（1）解法一：
連接OB，OC，過O作OE⊥BC于點E．
∵OE⊥BC，BC=，
∴．
在Rt△OBE中，OB=2，∵，
∴∠BOE=60°，∴∠BOC=120°，
∴．
解法二：
連接BO并延長，交⊙O于點D，連接CD．
∵BD是直徑，∴BD=4，∠DCB=90°．
在Rt△DBC中，，
∴∠BDC=60°，∴∠BAC=∠BDC=60°．

（2）解：因為△ABC的邊BC的長不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優(yōu)弧BC的中點處．
過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優(yōu)弧BC的中點．連接AB，AC，則AB=AC，．
在Rt△ABE中，∵，
∴，
∴S_△ABC=．
答：△ABC面積的最大值是．
分析：（1）連接OB、OC，作OE⊥BC于點E，由垂徑定理可得出BE=EC=，在Rt△OBE中利用銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值可求出∠BOE的度數(shù)，再由圓周角定理即可求解；
（2）因為△ABC的邊BC的長不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A應(yīng)落在優(yōu)弧BC的中點處，過OE⊥BC于點E，延長EO交⊙O于點A，則A為優(yōu)弧BC的中點，連接AB，AC，則AB=AC，由圓周角定理可求出∠BAE的度數(shù)，在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值可求出AE的長，由三角形的面積公式即可解答．
點評：本題考查的是垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形，能根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．