Question

古人曾研究過所謂的“多邊形數(shù)”：即能用點(diǎn)排成多邊形（通常排成正多邊形）的陣列表示的數(shù)．在數(shù)學(xué)史上曾一度為不少專業(yè)和業(yè)余的數(shù)學(xué)家所青睞，人們認(rèn)為這些奇妙的數(shù)一定有它特殊的性質(zhì)，因?yàn)樗齻兊拇_很具數(shù)學(xué)美．下圖所示是前5個(gè)三角形數(shù)．第1個(gè)三角形數(shù)是1，第2個(gè)三角形數(shù)是3，第3個(gè)三角形數(shù)是6…，依此規(guī)律回答以下三個(gè)問題：
（1）第6個(gè)三角形數(shù)是

21

；
（2）第n個(gè)三角形數(shù)是

n(n+1)

2

（用含n的式子表示，其中n表示正整數(shù)）；
（3）第2013個(gè)三角形數(shù)與2011個(gè)三角形數(shù)的差是

4025

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“第1個(gè)三角形數(shù)是1，第2個(gè)三角形數(shù)是3，第3個(gè)三角形數(shù)是6…”找到規(guī)律，利用規(guī)律寫出第6個(gè)三角形數(shù)即可；
（2）根據(jù)上題得到的規(guī)律用通項(xiàng)公式表示出來即可；
（3）將數(shù)據(jù)代入求得兩個(gè)三角形數(shù)的差即可．

解答：解：（1）第1個(gè)三角形數(shù)是1，
第2個(gè)三角形數(shù)是1+2=3，
第3個(gè)三角形數(shù)是1+2+3=6，
…，
第6個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6=21，；

（2）第n個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；

（3）第2013個(gè)三角形數(shù)與2011個(gè)三角形數(shù)的差是1+2+3+…+2013-（1+2+3+…+2011）=2013+2012=4025．
故答案為：21，

n(n+1)

2

，4025．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察每個(gè)三角形的個(gè)數(shù)與圖形的關(guān)系，然后找到通項(xiàng)公式，從而解決問題．