Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M，使△ACM周長最小，請求出此時點M的坐標；
（3）在（2）的條件下，在x軸上找一點P，使得△APM是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸可求出B點的坐標，進而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸直線對稱，若連接BC，那么BC與直線x=1的交點即為所求的點M；可先求出直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線對稱軸方程即可求得M點的坐標；
（3）根據(jù)△APM為等腰直角三角形，分別利用當AM=AP₂時，當PM=AM時，當AP₃=AM時，當AP₁=MP₁時求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，且A（-1，0），
∴B（3，0）；
可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），由于拋物線經(jīng)過C（0，-3），
則有：a（0+1）（0-3）=-3，a=1；
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；

（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸直線x=1對稱，
那么M點為直線BC與x=1的交點；
由于直線BC經(jīng)過C（0，-3），可設(shè)其解析式為y=kx-3，
則有：3k-3=0，k=1；
∴直線BC的解析式為y=x-3；
當x=1時，y=x-3=-2，
即M（1，-2）；

（3）∵A（-1，0），M（1，-2），
∴AM=2

2

，
∴當AM=AP₂=2

2

時，
則P₂（2

2

-1，0），
當PM=AM時，P（3，0），
當AP₃=AM時，則P₃（-2

2

-1，0），
當AP₁=MP₁時，則P₁（1，0），
綜上所述：符合題意的P點坐標為：（2

2

-1，0），（3，0），（-2

2

-1，0），（1，0）．

點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．