Question

已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，∠ACB=108°，AC=BC，AC²=AB•AD．試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形．

Answer 1

分析：可通過證角相等來證三角形是等腰三角形．根據(jù)給出的比例關(guān)系式子，我們不難得出△ACD∽△ABC．那么可得出∠ACD=∠B，AC=DC，通過等邊對等角我們可得出∠A=∠ACD，那么△ACD就是等腰三角形．證△CDB可通過角的度數(shù)進行證明（根據(jù)∠A的度數(shù)和三角形的內(nèi)角和）．

解答：證明：∵∠ACB=108°，AC=BC，
∴∠A=∠B=36°．
∵AC²=AD•AB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=36°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ACD=∠B=36°，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠ACD=72°，
∵∠B=36°，
∴∠BCD=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴△BCD是等腰三角形．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和等腰三角形的判定，根據(jù)題中的條件得出相似三角形進而得出對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．