【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB10cm,E為對角線BD上一動點,連接AE,CE,過E點作EFAE,交直線BC于點FE點從B點出發(fā),沿著BD方向以每秒2cm的速度運動,當點E與點D重合時,運動停止.設△BEF的面積為ycm2,E點的運動時間為x秒.

1)求證:CEEF;

2)求yx之間關系的函數(shù)表達式,并寫出自變量x的取值范圍;

3)求△BEF面積的最大值.

【答案】1)見解析;(2;(350

【解析】

1)作輔助線,構建三角形全等,證明△AEM≌△EFN和△ADE≌△CDESAS),可得AE=CE=EF
2)分兩種情況:根據(jù)三角形的面積公式可得yx之間關系的函數(shù)表達式,根據(jù)勾股定理計算BD的長可得x的取值;
3)根據(jù)(2)中的兩種情況,分別利用配方法和二次函數(shù)的增減性可得結論.

1)證明:過EMNAB,交ADM,交BCN,

∵四邊形ABCD是正方形,

ADBC,ABAD,

MNADMNBC,

∴∠AME=∠FNE90°=∠NFE+FEN,

AEEF,

∴∠AEF=∠AEM+FEN90°

∴∠AEM=∠NFE,

∵∠DBC45°,∠BNE90°,

BNENAM,

∴△AEM≌△EFNAAS),

AEEF,

∵四邊形ABCD是正方形,

ADCD,∠ADE=∠CDE,

DEDE,

∴△ADE≌△CDESAS),

AECEEF

2)解:在RtBCD中,由勾股定理得:BD,

0≤x≤5,

由題意得:BE2x,

BNENx,

由(1)知:△AEM≌△EFN,

則AE=EF=EC,
分兩種情況:

當0≤x≤ 時,如圖1,

∵AB=MN=10,

MEFN10x

BFFNBN10xx102x,

y=﹣2x2+5x0≤x);

時,如圖2,過E作EN⊥BC于N,


∴EN=BN=x,
∴FN=CN=10-x,
∴BF=BC-2CN=10-2(10-x)=x-10,

y=2x2-5x);

綜上,y與x之間關系的函數(shù)表達式為

3)①當0≤x≤ 時,如圖1,

y=﹣2x2+5x=﹣2x2+,

∵﹣20

∴當x時,y有最大值是;

時,如圖2,

y=﹣2x2+5x=2(x﹣2-,

∵2>0,

∴當x時,y有最大值是50;

即△BEF面積的最大值是50

練習冊系列答案
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C.D.

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