Question

對(duì)于二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線E．現(xiàn)有點(diǎn)A（2，0）和拋物線E上的點(diǎn)B（-1，n），請(qǐng)完成：
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求拋物線y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）判斷點(diǎn)A是否在拋物線E上，并求出n的值．
（3）通過（2）演算可知，對(duì)于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線E總過定點(diǎn)，寫出定點(diǎn)坐標(biāo)．
（4）二次函數(shù)y=-3x²+5x+2是二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

（1）將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x²-4x=2（x-1）²-2，
∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，-2）；

（2）點(diǎn)A在拋物線E上，理由如下：
∵將x=2代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴點(diǎn)A（2，0）在拋物線E上．
∵點(diǎn)B（-1，0）在拋物線E上，
∴將x=-1代入拋物線E的解析式中，得：n=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．


（3）∵將拋物線E的解析式展開，得：
y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4
∴拋物線E必過定點(diǎn)（2，0）、（-1，6）；

（4）不是．
∵將x=-1代入y=-3x²+5x+2，得y=-6≠6，
∴二次函數(shù)y=-3x²+5x+2的圖象不經(jīng)過點(diǎn)B．
∴二次函數(shù)y=-3x²+5x+2不是二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”．