Question

探索題
圖a是一個長為2 m、寬為2 n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖b的形狀拼成一個正方形．

（1）你認為圖b中的影部分的正方形的邊長等于多少？

m-n

（2）請用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積．
方法1：

（m+n）²-4mn

方法2：

（m-n）²

（3）觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？
代數(shù)式：（m+n）²，（m-n）²，mn，
（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b=7，ab=5，則 （a-b）²=

69

．

Answer 1

分析：（1）觀察得到長為m，寬為n的長方形的長寬之差即為陰影部分的正方形的邊長；
（2）可以用大正方形的面積減去4個長方形的面積得到圖b中的陰影部分的正方形面積；也可以直接利用正方形的面積公式得到；
（3）利用（2）中圖b中的陰影部分的正方形面積得到（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（4）根據(jù)（3）的結(jié)論得到（a-b）²=（a+b）²+4ab，然后把a+b=7，ab=5代入計算．

解答：解：（1）圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于長為m，寬為n的長方形的長寬之差，即m-n；

（2）方法一：圖b中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個長方形的面積，即（m+n）²-4mn；
方法二：圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于m-n，所有其面積為（m-n）²；

（3）（m-n）²=（m+n）²-4mn；

（4）∵（a-b）²=（a+b）²+4ab，
當(dāng)a+b=7，ab=5，
∴（a-b）²=7²+4×5=69．
故答案為m-n；（m+n）²-4mn；（m-n）²；69．

點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景：利用幾何圖形之間的面積關(guān)系得到完全平方公式．