Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
【小題1】求BC的長(zhǎng)
【小題2】當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值
【小題3】試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．

Answer 1

【小題1】如圖①，過(guò)A、D分別作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，則四邊形ADHK是矩形．
∴KH=AD=3．
在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4BK=AB•cos45°=4=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2分）
【小題2】如圖②，過(guò)D作DG∥AB交BC于G點(diǎn)，則四邊形ADGB是平行四邊形．
∵M(jìn)N∥AB，
∴MN∥DG．
∴BG=AD=3．
∴GC=10﹣3=7．
由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，CN=t，CM=10﹣2t．
∵DG∥MN，
∴∠NMC=∠DGC．
又∠C=∠C，
∴△MNC∽△GDC．
∴，
即．
解得，．（3分）

【小題3】分三種情況討論：
①當(dāng)NC=MC時(shí)，如圖③，即t=10﹣2t，
∴．

②當(dāng)MN=NC時(shí)，如圖④，過(guò)N作NE⊥MC于E．
由等腰三角形三線合一性質(zhì)得
EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．
在Rt△CEN中，cosC==，
又在Rt△DHC中，cosC=，
∴．
解得t=．
③當(dāng)MN=MC時(shí)，如圖⑤，過(guò)M作MF⊥CN于F點(diǎn)．FC=NC=t．
（方法同②），
解得．
綜上所述，當(dāng)t=、t=或t=時(shí)，△MNC為等腰三角形．（3分）

解析