Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結(jié)DH與BE相交于點G．

（1）判斷AC與圖中的那條線段相等，并證明你的結(jié)論；
（2）若CE的長為 ，求BG的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

∵∠ABC=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形．

∴BD=CD，

∵BE⊥AC于E，

∴∠BEC=90°，

∵∠BFD=∠EFC，

∴∠DBF=∠DCA，

在Rt△DFB與Rt△DAC中，

，

∴Rt△DFB≌Rt△DAC，

∴BF=AC；

（2）解：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=22.5°，

∵BE⊥AC于E，

∴∠BEA=∠BEC=90°，

又∵BE=BE，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC，

∴CE=AE．

連結(jié)CG，

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴BD=CD，

又H是BC邊的中點，

∴DH⊥BC，

∴DH垂直平分BC，

∴BG=CG，

∵∠EBC=22.5°，

∴∠GCB=22.5°，

∴∠EGC=45°，

∴Rt△CEG是等腰直角三角形，

∵CE的長為 ，

∴EG= ，

利用勾股定理得：CE2+GE2=GC2，

∴ ，

∴ ，

∴BG的長為 ．

【解析】（1）首先判斷出△BCD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠DBF=∠DCA，然后利用AAS判斷出Rt△DFB≌Rt△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BF=AC；
（2）首先判斷出Rt△BEA≌Rt△BEC，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出CE=AE．連結(jié)CG，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出DH垂直平分BC，根據(jù)中垂線定理得出BG=CG，根據(jù)等邊對等角得出∠EBC=22.5°=∠GCB，根據(jù)三角形的外角定理得出∠EGC=45°，故Rt△CEG是等腰直角三角形，利用勾股定理得出GC的長。

【考點精析】掌握線段垂直平分線的判定和線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．