Question

【題目】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

（1）如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：

延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或?qū)?/span>△ACD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形或全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．

（2）問(wèn)題解決：

受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．

①求證：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索線(xiàn)段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；

（3）問(wèn)題拓展：

如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作∠EDF為60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線(xiàn)段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（2）①首先延長(zhǎng)FD到G，使得DG=DF，進(jìn)而得出CF=BG，DF=DG，以及EF=EG，再利用三角形三邊關(guān)系得出答案；

②由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，再利用勾股定理得出答案；

（3）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△DEG≌△DEF（SAS），進(jìn)而得出EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF，進(jìn)而得出答案．

（2）證明：①如答題圖1，延長(zhǎng)FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．

則CF=BG，DF=DG，

∵DE⊥DF，∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

解：②若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，

由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，

∴BE2+CF2=EF2；

（3）解：如答題圖2，將△DCF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBG．

∵∠C+∠ABD=180°，∠4=∠C，

∴∠4+∠ABD=180°，

∴點(diǎn)E、B、G在同一直線(xiàn)上．

∵∠3=∠1，∠BDC=120°，∠EDF=60°，

∴∠1+∠2=60°，故∠2+∠3=60°，即∠EDG=60°

∴∠EDF=∠EDG=60°，

在△DEG和△DEF中，

∴△DEG≌△DEF（SAS），

∴EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF．