Question

在四邊形ABCD中，AB=CD，P、Q分別是AD、BC的中點(diǎn)，M、N分別是對角線AC、BD的中點(diǎn)，證明：PQ⊥MN．

Answer 1

分析：作輔助線連接PN、QN、QM、PM，顯然PN平行且等于

1

2

AB，MQ平行且等于

1

2

AB，PM平行且等于

1

2

DC，NQ平行且等于

1

2

DC，因?yàn)锳B=CD，所以PN=NQ=QM=PM，容易證明四邊形PNQM是菱形，即可得出結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接PN、QN、QM、PM，
顯然PN平行且等于

1

2

AB，MQ平行且等于

1

2

AB，
PM平行且等于

1

2

DC，NQ平行且等于

1

2

DC，
∵AB=CD，
∴PN=NQ=QM=PM，
∴四邊形PNQM是菱形，
∴PQ⊥MN．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵根據(jù)題意巧妙地作出輔助線．