Question

如圖，CD與AB是⊙O內(nèi)兩條相交的弦，且AB為⊙O的直徑，CE⊥AB于點(diǎn)E，CE=5，連接AC、BD．
（1）若sinD=

5

13

，則cosA=

12

13

；
（2）在（1）的條件下，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理和三角函數(shù)的定義求得AC=13；然后根據(jù)勾股定理知AE=12；最后利用三角函數(shù)定義求cosA的值；
（2）連接BC．利用（1）的結(jié)果，在直角三角形ABC中，根據(jù)∠A的余弦三角函數(shù)值求得AB的長(zhǎng)度，然后利用圖中BE、AE以及AB間的數(shù)量關(guān)系來求BE的長(zhǎng)度即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
∵∠A=∠D（同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴sin∠D=sin∠D=

CE

AC

=

5

13

；
又∵CE=5，
∴AC=13，
∴AE=12（勾股定理），
∴cosA=

AE

AC

=

12

13

．…（2分）

（2）如圖，連接BC．
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
∴由（1）知AC=13，AE=12，cosA=

12

13

．
在Rt△ACB中，cosA=

AC

AB

，
∴AB=

169

12

．…（4分）
∴BE=AB-AE=

25

12

．…（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、同角三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)．解答這類題一些學(xué)生往往不會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問題，不知從何處入手造成錯(cuò)解．