Question

如圖：已知E、F分別是正方形的邊AB、AD中點，DE，CF相交于P，DE的延長線交CB的延長線于G，若正方形的邊長為6cm，求PB的長．

Answer 1

解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90°，
∵E、F分別是邊AB、AD的中點，
∴AE=BE=DF，
∵在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE=∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
∴∠DCF+∠CDE=90°，
∴∠CPD=180°-90°=90°，
∴∠CPG=90°，
∵G在CB的延長線上，
∴∠EBG=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠A=∠EBG，
∵在△ADE和△BGE中，
，
∴△ADE≌△BGE（ASA），
∴AD=BG，
∴PB是△PCG的中線，
∵正方形的邊長為6cm，
∴CG=6+6=12cm，
∴PB=CG=×12=6cm．
分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90°，再根據(jù)中點定義求出AE=DF，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ADE=∠DCF，然后求出∠CDP=90°，再利用“角邊角”證明△ADE和△BGE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=BG，從而求出PB是△PCG的中線，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握各性質(zhì)并求出三角形全都是解題的關鍵，難點在于要二次證明三角形全等．