Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2

3

，BC=3

（1）如圖1，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得DE=PD，以PE，PC為邊作平行四邊形PEFC
①平行四邊形PEFC能否為矩形？若能，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，說(shuō)明理由．
②線段FP能否垂直于AB？若能，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，說(shuō)明理由．
（2）如圖2，若P為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得AE=nPA，以PE、PB為邊作平行四邊形PEFB，線段PF能否垂直于CD？若能，求出此時(shí)PD的長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①能，理由為：平行四邊形PEFC能為矩形，當(dāng)平行四邊形PEFC為矩形時(shí)，∠EPC為直角，可得出∠APD與∠BPC互余，再由∠BPC與∠BCP互余，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似得到三角形APD與三角形BCP相似，由相似得比例，求出AP的長(zhǎng)即可；
②線段FP能垂直于AB，當(dāng)FP垂直于AB時(shí)，利用垂直于同一條直線的兩直線平行得到AD，F(xiàn)P與BC都平行，由平行得比例，并根據(jù)PD=DE，求出AP的長(zhǎng)即可；
（2）線段PF能垂直于CD，作FN∥DC，CH⊥FN，延長(zhǎng)CB交FN于點(diǎn)N，先證明△ADP∽△BNF，方法為由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到兩對(duì)角互補(bǔ)，再利用同角的補(bǔ)角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，可得出相似，由相似得比例，表示出BN，F(xiàn)N，及CN，過(guò)D作DM⊥BC，可得出四邊形ABMD為矩形，利用矩形的對(duì)邊相等得到DM=AB=2

3

，BM=AD=1，再由BC-BM求出CM的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而由直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半求出∠MDC為30°，進(jìn)而得到∠DCM為60°，確定出∠HCN為30°，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半表示出HN，由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到PFHC為矩形，利用矩形的對(duì)邊相等得到FH=PC，由FN+NH表示出FH，由PC+DP=CD，得到FH+DP=CD，列出關(guān)系式，即可表示出此時(shí)的PD．

解答：解：（1）①能，理由為：若平行四邊形PEFC為矩形，則∠EPC=90°，
∴∠APD+∠CPB=∠CPB+∠BCP=90°，
∴∠APD=∠BCP，
又∵∠A=∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴

AD

PB

=

AP

BC

，即

1

2 3 -AP

=

AP

3

，
∴AP=

3

，
∴當(dāng)AP=

3

時(shí)，若平行四邊形PEFC為矩形；
②能，理由為：若FP⊥AB，則AD∥FP∥BC，
∴

AP

BP

=

DG

GC

，
∵PD∥CF，
∴

PD

CF

=

DG

CG

=

PD

PE

=

1

2

，
∴

AP

BP

=

1

2

，
∴AP=

2 3

3

，
∴當(dāng)AP=

2 3

3

時(shí)，F(xiàn)P⊥AB；
（2）能，理由為：作FN∥DC，CH⊥FN，延長(zhǎng)CB交FN于點(diǎn)N，

∵FN∥DC，AD∥BC，
∴∠FNB+∠BCD=180°，∠D+∠BCD=180°，
∴∠FNB=∠D，
∵四邊形PEFB為平行四邊形，
∴EP∥FB，
∴∠PAB=∠ABF，
∵∠DAB=∠ABN=90°，
∴∠DAB-∠PAB=∠ABN-∠ABF，即∠DAP=∠NBF，
∴△ADP∽△BNF，
∴

AD

BN

=

AP

BF

=

PD

FN

，
∵BF=PE=（n+1）AP，
∴

1

BN

=

AP

(n+1)AP

=

PD

FN

，
∴BN=n+1，F(xiàn)N=（n+1）PD，
∴CN=BN+BC=n+4，
過(guò)D作DM⊥BC，可得出四邊形ABMD為矩形，
∴DM=AB=2

3

，BM=AD=1，CM=BC-BM=3-1=2，
在Rt△CDM中，根據(jù)勾股定理得：CD=

CM2+DM2

=4，
∴CM=

1

2

CD，
∴∠MDC=30°，∠BCD=60°，
∵∠DCH=90°，
∴∠HCN=30°，
∴HN=

1

2

CN=

n+4

2

，
∵四邊形FHCP是矩形，
∴FH=PC=HN+FN=

n+4

2

+（n+1）PD，
∴FH+PD=

n+4

2

+（n+1）PD+PD=DC=4，
∴PD=

4-n

2n+4

，
∴當(dāng)PD=

4-n

2n+4

時(shí)，F(xiàn)P⊥CD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線等分線段定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，是一道探究性的壓軸題．