Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)D分別向AB，AC引垂線(xiàn)，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．
（1）DE，DF，CG的長(zhǎng)之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；
（2）若D在底邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進(jìn)行分析證明；
（2）類(lèi)似（1）的思路，仍然用計(jì)算面積的方法來(lái)確定線(xiàn)段之間的關(guān)系．即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積-三角形ACD的面積．
解答：解：（1）DE+DF=CG．
證明：連接AD，
則S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（1）中的結(jié)論不成立，但有DE-DF=CG．
理由：連接AD，則S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
即AB•DE=AB•CG+AC•DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理當(dāng)D點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，則有DE-DF=CG，說(shuō)明方法同上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；在解決一題多變的時(shí)候，基本思路是相同的；注意通過(guò)不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，來(lái)進(jìn)行證明結(jié)論的方法，是非常獨(dú)特的，也是一種很好的方法，注意掌握應(yīng)用．