Question

（2013•漳州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA=2，0C=6，在OC上取點(diǎn)D將△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，將一個(gè)足夠大的直角三角板的頂點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿線段DA→AB移動(dòng)，且一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)D，另一直角邊所在直線與直線DE，BC分別交于點(diǎn)M，N．
（1）填空：D點(diǎn)坐標(biāo)是（

2

，

0

），E點(diǎn)坐標(biāo)是（

2

，

2

）；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，2），記△DBN的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S隨x增大而減小時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)DE=OD=2，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由翻折可知四邊形AODE為正方形，過M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=4

2

，再根據(jù)直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，設(shè)MN的解析式為y=x+b，根據(jù)DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），CM=

42+(2+b)2

，CN=6+b，MN=4

2

，①當(dāng)CM=CN時(shí)，4²+（2+b）²=（6+b）²，解得：b=-2，此時(shí)M（2，0）；②當(dāng)CM=MN時(shí)，4²+（2+b）²=（4

2

）²，解得：b₁=2，b₁=-6（不合題意舍去），此時(shí)M（2，4）；③當(dāng)CM=MN時(shí)，6+b=4

2

，解得：b=4

2

-6，此時(shí)M（2，4

2

-4）；
（3）根據(jù)題意先證出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，S=x²-8x+12=（x-4）²-4，②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，S=-x²+8x-12=-（x-4）²+4，即可得出答案．

解答：解：（1）∵將△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，
∴OA=OD，
∵OA=2，
∴OD=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），DE=OD=2，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)是（2，2），
故答案為：（2，0），（2，2）；

（2）存在點(diǎn)M使△CMN為等腰三角形，理由如下：
由翻折可知四邊形AODE為正方形，
過M作MH⊥BC于H，
∵∠PDM=∠PMD=45°，則∠NMH=∠MNH=45°，
NH=MH=4，MN=4

2

，
∵直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，
∴設(shè)MN的解析式為y=x+b，
而DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，
∴M（2，2+b），N（6，6+b），
CM=

42+(2+b)2

，CN=6+b，MN=4

2

，
分三種情況討論：
①當(dāng)CM=CN時(shí)，
4²+（2+b）²=（6+b）²，
解得：b=-2，此時(shí)M（2，0）；
②當(dāng)CM=MN時(shí)，
4²+（2+b）²=（4

2

）²，
解得：b₁=2，b₂=-6（不合題意舍去），
此時(shí)M（2，4）；
③當(dāng)CN=MN時(shí)，
6+b=4

2

，
解得：b=4

2

-6，此時(shí)M（2，4

2

-4）；
綜上所述，存在點(diǎn)M使△CMN為等腰三角形，M點(diǎn)的坐標(biāo)為：
（2，0），（2，4），（2，4

2

-4）；

（3）根據(jù)題意得：
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，
∵∠BPN+∠DPE=90°，
∠BPN+∠BNP=90°，
∴∠DPE=∠BNP，
又∠PED=∠NBP=90°，
∴△DEP∽△PBN，
∴

PB

DE

=

BN

EP

，
∴

6-x

2

=

BN

2-x

，
∴BN=

(2-x)(6-x)

2

，
∴S_△DBN=

1

2

•BN•BE
=

1

2

•

(2-x)(6-x)

2

•4
整理得：S=x²-8x+12；
當(dāng)2＜x≤6時(shí)，
∵△PBN∽△DEP，
∴

PB

NB

=

DE

PB

，
∴

x-2

NB

=

2

6-x

，
∴BN=

(x-2)(6-x)

2

，
∴S_△DBN=

1

2

•BN•BE，
=

1

2

•

(x-2)(6-x)

2

×4，
整理得：S=-x²+8x-12；
則S與x之間的函數(shù)關(guān)系式：

S=x2-8x+12(0≤x≤2) S=-x2+8x-12(2＜x≤6)

，
①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，S=x²-8x+12=（x-4）²-4，
當(dāng)x≤4時(shí)，S隨x的增大而減小，即0≤x≤2，
②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，S=-x²+8x-12=-（x-4）²+4，
當(dāng)x≥4時(shí)，S隨x的增大而減小，即4≤x≤6，
綜上所述：S隨x增大而減小時(shí)，0≤x≤2或4≤x≤6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、軸對(duì)稱等，關(guān)鍵是綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道綜合題．