Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A、B，點B的坐標為（3，0），它的對稱軸為直線x=2．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）若拋物線的頂點為D，聯(lián)結(jié)BD并延長交y軸于點P，聯(lián)結(jié)PA，求∠APC的余切值；
（3）在（2）的條件下，若拋物線上存在一點E，使得∠DPE=∠ACB，求點E坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸交于點A、B，點B的坐標為（3，0），它的對稱軸為直線x=2，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為：y=x²-x+2；

（2）∵y=x²-x+2=（x²-4x）+2=（x-2）²-，
∴拋物線頂點坐標為：（2，-），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+a，
∴，
解得：，
∴直線BD的解析式為：y=x-2，
∴P（0，-2），
∵點B的坐標為（3，0），它的對稱軸為直線x=2，
∴A點坐標為：（1，0），
在直角三角形POA中，
cot∠APC==2；

（3）∵BC=BP，AC=AP，
∴∠BCO=∠BPO，∠ACO=∠APO，
∴∠BAC=∠BPA，
∴延長PA交拋物線于點E，過點E作EH⊥x軸，
∴△AOP∽△AHE，
∴，
設(shè)AH=x，EH=2x，則點E（x+1，2x）
∴，
解得：x₁=0，x₂=5，
∴E₁（1，0），E₂（6，10）．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而得出答案；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)頂點坐標，進而得出A點坐標，再求出直線BD的解析式，進而得出∠APC的余切值；
（3）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△AOP∽△AHE，進而得出E點坐標．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知結(jié)合相似三角形判定與性質(zhì)得出E點坐標是解題關(guān)鍵．