Question

已知關于x的一元二次方程x² = 2（1－m）x－m² 的兩實數根為x₁，x₂．

1.求m的取值范圍

2.設y = x₁ + x₂，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵一元二次方程x² = 2（1－m）x－m² 的兩實數根

∴x² －2（1－m）x+m² ＝0 

∵△=b²-4ac＝[2（1-m）]²-4m²=4 -8m≥0，………………………3分

∴m≤           …………………………………………………5分

2.∵一元二次方程x² = 2（1－m）x－m²，

∴x₁+x₂=2-2m，…………………………………………………7分

∴y=x₁+x₂=2(1-m )…………………………………9分

∵此二次函數圖象開口向上，y有最小值，

∴當m=時，y有最小值y= -2m+2=1………10分

【解析】（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，可求出m的取值范圍；

（2）根據根與系數的關系可得出x₁+x₂的表達式，進而可得出y、m的函數關系式，根據函數的性質及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值及對應的m值．